Matematikte Özel Sayılar

Saysı:

, Yunan alfabesinin 16. harfi olan “p” sembolü ile gösterilir. Bir sicim kullanılarak yapılan basit bir ölçmeyle, bu sayının “yaklaşık” olarak 22/7 yani 3,142857142857… olduğu görülebilir.

Fakat bu, p’nin gerçek değeri değildir. Ölçme büyüklüğü önemli olmayan herhangi bir çember çizilir, bu çemberin çevresi ile eşit uzunlukta bir ip temin edilir. Daha sonra ip, çemberin çapı uzunluğunda parçalara ayrılır, görüleceği gibi çap uzunluğunda 3 parça ile çapın yedide birinden biraz kısa bir parça ip elde edilir. Böylece çemberin çevresinin çapına oranı olan p sayısının, 3 tam 1/7 yani 22/7′den biraz daha küçük bir sayı olduğu görülmüş olur.
Fakat bu rasyonel bir sayıdır ve bu tip sayılarda virgülden sonraki basamaklar tekrar ettiği takdirde blok şeklinde sonsuza kadar tekrar eder. p sayısı veya Ö2 gibi irrasyonel sayılarda ise, virgülden sonraki basamaklar sonsuza kadar sürekli değişir (kaotik şekilde) ve bir kurala tâbi olmaz.
Çoğumuzun hafızasında p sayısı 3,14 veya 22/7 olarak yer etmiş olsa bile, p’nin gerçek değeri bunların ikisi de değildir. Peki bu sayı, yani p, tam olarak kaçtır? İşte bu soru, p sayısını tam olarak hesaplamak isteyenleri 4.000 yıldır meşgul etmektedir. Bilim ve teknolojinin bu kadar ilerlediği günümüzde bile, bir çemberin çapına oranının tam olarak hesaplanamaması, işlem sonsuza kadar devam ettiği için ilâhî hikmetleri açısından üzerinde düşünülmeye değer bir husustur. Tarih boyunca matematikle ilgilenen birçok insan, p sayısını hesaplamak için yıllarını vermiştir. p sayısının 3,141592653589793238… şeklinde sonsuza kadar devam eden bir ondalık rakam serisi olduğu bilinmektedir.

Virgülden sonra sonsuz sayıda basamak olduğu ve bir sayının sonsuza oranının sıfır olduğu göz önüne alınırsa, trilyonuncu basamağın bulunmasının bile p’nin bütün serisini bulmaya nispeten ne kadar önemsiz olduğu daha iyi anlaşılabilir. Buradan sonsuza uzanan bir seriyi araştırmanın pratik bir faydasının olmadığı da anlaşılacaktır.
En hassas hesaplamalarda bile belli bir basamaktan sonrası önemini yitirdiği halde, insanlar niçin p’nin sonsuza giden basamaklarını bilmek istiyor? Bu sorunun cevaplarından biri, muhtemelen, insanın sınırları ölçme isteği ve sonsuzu anlama iştiyakıdır. Bu sayı ile Yüce Yaratıcı’nın kâinatta vazettiği kanunlar arasında bir münasebet olduğunu düşünenler, bu sayının basamaklarında sanki bir işaret, bir mesaj aramışlardır. “Allah kanunlarını her zaman geometri ile vazetmiştir.” diyen Eflatun da onlardan biridir

p sayısının hesaplanmasındaki tarihî süreç Mısırlılar ile başlar. Mısırlı bir katip olan Ahmes’in MÖ 1650 yıllarında hesapladığı p değeri olan 3,16049… ile gerçek değer 3,14159… arasında yalnızca binde altılık bir hata vardır. O zamanki şartlar dikkate alınırsa bu başarılı bir tespit sayılabilir. Büyük Giza Piramidi’nin bir kenarının yüksekliğine oranının yaklaşık olarak p’nin 2′ye oranı ile aynı olması, p sayısının Mısır estetik ve mimari anlayışındaki yerini göstermektedir.
İnsanlar uzun yıllar bu değerle yetindikten sonra Arşimed (MÖ 287-212) p sayısının 3 tam 1/7 den küçük, 3 tam 10/71’den büyük olduğunu bulmuştur. Muhtemelen, Arşimed p sayısının tam olarak bulunamayacağını biliyordu, bu yüzden alt ve üst sınırlarını hesaplamakla yetindi. Bu değerleri bulurken hareket noktası kısaca şu şekilde özetlenebilir:

 

Yarıçapı l olan bir çemberin içine ve dışına Şekil 1′deki gibi iki düzgün altıgen çizilir. Kolayca görülebileceği gibi çemberin çevresi, içteki altıgenin çevresinden uzun ve dıştaki altıgenin çevresinden kısadır, bu da matematik diliyle 6<2p <4Ö3 şeklinde ifade edilir. Dolayısıyla 3
, Leibniz, Newton ve Euler gibi Batılı matematikçilerle birlikte İslâm dünyasından da El-Harezmi ve Gıyasüddin Cemşid gibi matematikçilerin p sayısında virgülden sonraki ileri basamakları çözmeye çalıştıklarını belirtmek gerekir. Gıyasüddin Cemşid 15. yüzyılın başlarında p sayısının virgülden sonraki 12 basamağını, Avrupalı matematikçilerden 200 yıl kadar önce doğru bir şekilde hesaplama başarısını göstermiştir. p serüvenini yazarken Çudnovski kardeşlerden bahsetmemek olmaz. Bu iki kardeş, p sayısını hesaplamak için, satın aldıkları parçalarla bir bilgisayar yapmışlardır.

 

Evlerine kurdukları bu bilgisayarı kullanarak 1989′da p’nin 1 milyara yakın basamağını hesaplama rekoru kırmışlardır. Niçin bu basamakları bulduklarını David Çudnovski “p’yi keşfetmek, kâinatı keşfetmek gibidir.” sözü ile açıklar. p’nin basamaklarını bulmadaki bilinen en son rekor, 1999 yılında Yasumasa Kanada isimli sevdalısı tarafından Tokyo Üniversitesi’nde kırılmıştır. Kanada, ileri düzeyde hesap yapabilen bir bilgisayar ile, yaklaşık 37 saatte p’nin 206,158,430,000 basamağını hesaplamıştır. Bu rekorla iki yıl önce Takashi ve Kanada’nın birlikte kırdıkları 51,5 milyarlık eski rekor da yenilenmiştir.

Aslında bu ileri hesaplamalara hobi denebilir. Günlük hayatın pratiği virgülden sonraki basamakları bu şekilde uzatmamızı gerektirmez. Çünkü makro-âlemdeki uygulamalar atom-altı ölçeğin boyutlarına kadar inmez, bunları ihmal eder; çünkü bunlar bizim hayatımıza tesir edecek önemde değildir.

p’nin bir başka özelliği ise transandantal bir sayı olmasıdır, yani p katsayıları tam sayı olan hiç bir polinomun kökü değildir. Eski zamanlardan itibaren geometri âşıkları, sadece pergel ve (üzeri işaretlenmemiş) cetvel kullanarak geometrik çizimler yapmak istemişlerdir. Meselâ, sadece pergel ve cetvel kullanarak alanı bir dairenin alanına eşit olan kare çizme meselesi bu insanları asırlar boyu meşgul etmiştir.

Cebir dalında çalışma yapan uzmanlar, dairenin alanına eşit alanlı karenin çizilebilir olmasının Öp’nin çizilebilir olmasına bağlı olduğunu ispat etmişlerdir. p transandantal bir sayı olduğu için Öp çizilemez, dolayısıyla sadece pergel ve cetvel kullanarak alanı daire ile eşit alanlı bir kare çizmek imkânsızdır.
Pi’deki sırları keşfetmek isteyenler, onun düzensiz gibi görünen basamakları arasında bir benzerlik, bir münasebet aramışlardır.

Virgülden sonraki basamaklarını tekrar eden sayı grupları şeklinde elde etmeyi denemişlerdir. Meselâ p’nin yaklaşık bir değeri olarak bilinen 22/7 yani 3,142857142857… sayısının virgülden sonraki basamakları 142857 sayı grubunun tekrarı şeklindedir.
Ne var ki, sayısı olan 3,141592653589793238… açılımının virgülden sonraki basamakları arasında buna benzer bir münasebet bulmak imkânsız gibi gözükmektedir. Bu, aynen dış görünüşlerinin birbirine benziyor görünmesi ile birlikte her insanın parmak izinin farklı olması gibidir. Nasıl ki her şahsın kendine has bir parmak izi vardır ve bu, insanın kimliğini belirler, bunun gibi p sayısının basamakları da onu belirler, sonsuza giden basamaklarındaki tek bir rakam bile değişse o artık p değildir. Bütün çemberlerin söz birliği etmişçesine işaret ettiği bir sayı olan p’nin basamaklarının düzensiz ve rastgele olması düşünülemez.

sayısı:

veya Euler sayısı, matematik, doğal bilimler ve mühendislikte önemli yeri olan sabit bir reel sayı, doğal logaritmanın tabanı. aşkın bir sayıdır, dolayısıyla irrasyoneldir, ve tam değeri sonlu sayıda rakam kullanılarak yazılamaz. Yaklaşık değeri şöyledir:

e=2,71828182845904523536….

Tarih: e sabitine dolaylı olarak ilk değinen İskoç matematikçi John Napier olmuştur. Napier, 1618′de logaritmalar üzerine yayımladığı bir kitabın ekinde, e sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmıştır; fakat sabitin kendisiyle fazla ilgilenmemiştir. e sayısını gerçek anlamda ilk keşfeden Jakob Bernoulli olmuştur. Bernoulli, e sayısını 1683′te birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiş ve bu sayının yaklaşık değerini hesaplamıştır. Sabite e ismini veren ise İsviçreli matematikçi Leonhard Euler’dir. Euler ilk olarak 1731′de Christian Goldbach’a yazdığı bir mektupta bu sabitten ‘e sayısı’ diye bahsetmiştir. Euler öncesi ve sonrasında bu sabit için b ve c harfleri de kullanılmışsa da sonuçta kabul edilen isim e olmuştur.

Euler e sayısını, virgülden sonra 23. basamağına kadar hesaplayabilmiştir. Günümüzde ise e sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir. e,nin irrasyonel bir sayı olduğu Euler tarafından,aşkın bir sayı olduğu ise Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır.

Fibonacci (fi) sayısı:

Fibonnaci sayıları şüphesiz ki matematikteki en ilgi çekici sayı sistemidir.Doğada,en olmayacak yerlerde karşımıza çıkan ve çoğu matematikçinin hayatın anlamı ‘nın arkasında gizli olduğunu düşündüğü için üzerinde çalıştığı mükemmel bir sayı düzenidir…13. yüzyılda Leonardo Fibonacci tarafından ortaya atılmış ve basit görünen tek bir sou üzerine kurulmuştur…
“Eğer bir çift tavşan her ay yeni bir çift tavşan doğurursa ve her yeni tavşan çifti kendi doğumlarından iki ay sonra yavrulamaya başlarsa, bir çift tavşandan bir yılda kaç çift tavşan üretilebilir?”
İlk bakışta saçma veya gereksiz olarak yorumlayabileceğiniz bu soru,bu gün matematikteki en gizemli sayı sistemini ve doğada sık sık rastladığımız altın oran ‘ı doğurmuştur…

Soruyu cevaplamaya çalışalım…
İlk ay bir çift tavşan doğacak.Matematiğin soyut bir bilim olması itibarıyla bu yavruların anasız, babasız nasıl büyütülecekleri veya bu iki tavşanın da aynı cinsten olup olmaması konusuna hiç girmeden ikinci ayda, bu tavşanlar daha yavrulamadıklarından, hala bir çift tavşanımız olduğunu farzedeceğiz.Üçüncü ayda bu tavşanlar yavrulayacağından iki çift tavşan olacak.Yeni doğmuş olan çift dördüncü ay doğurmayacak , oysa ana babaları yeniden bir çift yavru yapacak ve toplam üç çift tavşanımız olacak. Bu mantıkla düşünmeye devam edersek aşağıdaki sayı dizisini elde ederiz. Dizideki sayılar Ocak (ilk yavru çiftinin ortaya çıktığı ay) ile Aralık arasındaki takvim aylarının her birinde oluşan tavşan çiftlerinin sayısını verir:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…
Bu sayı sistemini dikkatle incelediğimizde çok basit bir kurala göre oluştuğunu göreceğiz.İlk iki sayı dışındaki her sayı,kendisinden önce gelen iki sayının toplamına eşittir…

“Eywallah da,Fibonacci Sayıları çok önemlidir diye geveleyip duruyorsun,nedir önemi kardeşim” gibi bir trip içindeyseniz az sonra moraracağınızı söylemiş olayım sevgili dostlar.

Bu sistemi ilginç kılan birkaç enden vardır:
a)… Sayı dizisinin üyeleri doğada hiç beklenmedik yerlerde akrşımıza çıkar.Bitkilerde,böceklerde…(Az sonra açıklıycam)

b)… Fibonacci Sayıları’nın birbirine olan sabir oranı sıfatını taşıyan 0,618033989 sayısı (inanmayan deenyebilir) eski Yunan tapınaklarından pitamitlere,Leonardo Da Vinci’nin resimlerine kadar hayatın birbirinden alakasız bir çok yerinde karşımıza çıkan inanılmaz orandır.Bu sayıya altın oran da denildiğini işitmişsinizdir muhtemelen…

c)… Fibonacci Sayılar,sayılar teorisinde bir çok farklı kullanımı olan olmazsa olmaz bir sayı sistemidir…

-Yaw kardeşim çıkıyor çıkıyor diyosun hani nerede karşımıza çıkıyor bu sayılar allaşkına!

Eğer bir çiçeği (papatya,gül) dikkatle inceleme tenezzülünde bulunursanız farkedersiniz ki yapraklar,bir alttaki yaprağı tamamen kapatmayacak şekilde dizilmiştir.Bu demektir ki her bir yaprak güneş ışığını eşit olarak paylaşıyor ve yağmur damlalarının her yaprağa değme olasılığı aynı yüzdede.
Bir bitkinin sapındaki yapraklarda, bir ağacın dallarının üzerinde her zaman Fibonacici sayılarını bulursunuz. Eğer yapraklardan biri başlangıç noktası olarak alınırsa ve bundan başlayarak, aşağıya ya da yukarıya doğru, başlangıç noktasının tam üstünde veya altında bir yaprak buluncaya kadar yapraklar sayılırsa bulunan yaprak sayısı farklı bitkiler için değişik olacaktır ama her zaman bir Fibonacci sayısıdır…

Fibonacci sayıları ayrıca çiçeklerin tohumlarında da görülebilir.Eğer bir papatyanın ve ya bir ayçiçeğinin çiçek kısmını büyütürseniz yoğarıdaki resme benzer bir görüntü elde edersiniz.Bakınız ki nasıl da büyütülmüş bir ayçiçeğinni çiçek kısmına benziyor.
Eğer şekildeki modelde, saat yönünde olan ve saaat yönünde olmayan sarmalları sayarsanız, 21 ve 34 sayılarını elde edersiniz ki bu sayılar ardışık iki fibonacci sayısıdır.
Fibonacci sayılarına sadece ayçiçeklerinde ve ya papatyalarda değil, bir kıvırcığın yapraklarında bir ananas ve ya kozalakların kat kat kabuklarında, soğanın katmanları arasında da rastlayabilirsiniz.

Son olarak Fibonacci sayılarının bir kozalağın yapısında bile karşımıza çıktığının üzerinde duracağım sevgili sorucevap.comcu insanları.

Haydin eywalla dedik,veda ettik ama görüyorum ki en mühim noktayı atlamışım.
Fibonacci sayıları nedir ne değildir biliyoruz artık ama, “Abi ben Fibonaçi Sayılarını biliyorum” diye ahkam kestiğimiz bir ortamda biri çıkıp da “Söyle o zaman abi Fibonaçi dizisinin 139.sayısı kaçtır?” dese dumur olacağız.
Anlatmışken tam anlatayım deyu Fibonacci Sayılarının hesaplanmasında kullanılan basit formülü de yazıyor,içim raat olaraq veda ediyorum…
(1+kök5)/2=a
(1-kök5)/2=b
(1/Kök5)=c
Fibonaccinin n’ ninci sayisi = c(a^n+b^n)

:

Matematikte olarak nitelendirilen farklı sayı sistemleri vardır ve sayılar bunlardan biridir. sayı,simetrik sayı demektir.Birler basamağından başlayarak yazıldığı takdirde yine aynı sayıya ulaşabileceğimiz sayılar olarak da tanımlanabilir…
Ör//202 , 4554 , 8658008568 gibi…
Poliandromik olmayan bir sayıdan yola çıkarak poliandromik bir sayıya ulaşmak mümkündür.Bunun için sayı sürekli birler basamağından başlayan tersi ile toplanır ve sonuçta poliandromik bir sayı elde edilir…
Örneğin:84+48=112+112=323 , 53+35=88 , 674+476=1150+511=1661
Bu yöntem algoritma yöntemi olarak bilinen yöntemdir ve uygulandığında sonuç almanın mümkün olmadığı bazı sayılar vardır. örneğin:196,394,493,790…(hatırlayabildiklerim bunlar,daha da var)
Bu sayıların algoritması binlerce kez alınsa da henüz poliandromik bir sayı elde edilememiştir…
İşte algoritma yönteminin uygulanamadığı sayılar…
(Sonuca ulaşılması için milyarlarca kere algoritması alınması gereken sayılar da diyebiliriz…)

Mükemmel sayılar:

 : 6, 28, 496 gibi kendisi hariç bütün pozitif çarpanları toplamı kendisine eşit olan sayılara denir. Mükemmel sayılar sonsuz tane olduğu düşünülür. Genel formülleri henüz bulunamamıştır. Ancak 2n(2n+1-1), sayısının her n çift sayısı ve 1 için mükemmel sayı olduğu görülebilir. Tabi buradan mükemmel sayıların çift sayı oldukları anlamı çıkmamaktadır. Yani bu formülün tüm mükemmel sayıların ortak formülü olup olmadığı bilinmemektedir. Ancak şu ana kadar bir tane tek mükemmel sayı bulunamamıştır…

  • İlk 11 mükemmel sayı :

6,
28,
496,
8128,
33550336,
8589869056,
137438691328
,2305843008139952128,
2658455991569831744654692615953842176,
19156194260823610729479337808430363813099732154816 9216 

İstediğimiz kadar sayıyı 2′ye katlayarak toplayalım. Toplam asal sayı olduğunda, bu asal sayıyı son sayıyla çarpalım, çıkan sayı mükemmel sayıdır.
Söyleneni örneklerle gösterelim:1+2=3; 3 asal sayı; 3×2=6.; 6 mükemmel sayı. Ya da 1+2+4=7; 7 asal sayı; 7×4=28 mükemmel sayı. Veya 1+2+4+8+16=31 asal sayı; 31×16=496 mükemmel sayı.
Genel kural olarak; Eğer herhangi bir k>1 için 1+2+4+…+2k-1 =2k-1 asal ise; o zaman 2k-1(2k-1) bir mükemmel sayıdır. MS 100 civarında, Nicomachus diğer şeylerin yanında, ispat gereği duymadan, mükemmel sayılarla ilgili şu özellikleri sıralıyor:
1- N.ci. mükemmel sayının n basamağı vardır.(1. Sayı 6, 2. sayı 28, 3.sayı 496, 4. sayı 8128) dikkat edelim ki henüz 5. mükemmel sayının kaç olduğu bilinmiyor. 2- Bütün mükemmel sayılar çifttir(sizin iddianız bu özelliği yok ediyor) 3- Bütün mükemmel sayılar, sırasıyla 6 ve 8 ile biterler). 4- Herhangi bir k>1 için 2k-1 asal ise 2k-1(2k-1) bir mükemmel sayıdır ve mükemmel sayıların hepsini üreten bir algoritmadır. 5- Sonsuz sayıda mükemmel sayı vardır.
Takip eden yüzyıllarda mükemmel sayılar konusuna gönül veren birçok matematikçi oldu. Yazılı kayıtlarda 4.’den sonraki mükemmel sayılara Arap matematikçi İsmail İbn İbrahim İbn Fallus’da(1194-1239) rastlıyoruz. Verdiği 10 mükemmel sayının ilk 7 tanesi doğru, 3 tanesi hatalı. Nihayet 1536′da İtalyan matematikçi Pietro Cataldi, 211-1 sayısının asal olmadığını(23.89=2047) gösterdi. Bir asal sayı olan 213-1=8191 ‘dan hareketle, 212(213-1)=33550336′nın bir mükemmel sayı olduğunu da buldu. 5. mükemmel sayı 8 basamaklıydı. Nicomuchos’un iddialarından 1., 3., 4. zamanla çürütüldüler. 6. sayı 1555′de J.Scheybl tarafından bulundu ise de 1977′ye kadar farkına varılmadığından mükemmel sayılar konusundaki gelişmelere katkısı olmadı.. 6. mükemmel sayıyı tekrar ve Scheybl den bağımsız olarak bulan gene Cataldi(1603) idi: 216(217-1)=8589869056. Bu sıra 8 de olmasına rağmen tekrar 6 ile biten bir mükemmel sayıydı. Cataldi 7. mükemmel sayıyı da bulan matematikçi oldu: 218(2191)=137438691328. Mükemmel sayılarla ilgili çalışan matematikçilere Pierre de Fermat, Rene Descartes ve Marin Mersenne gibi ünlüleri de dahil edelim. Bu çalışmalar sırasında Mersenne Asalları’nın da bulunduğunu, Fermat’nın küçük teoremi adıyla ünlü teoremin bu çalışmaların eseri olduğuna değindikten sonra, 8. mükemmel sayıyı bulan Euler’e gelelim: Euler, kendinden önceki matematikçilerden farklı olarak, tek mükemmel sayıların da olabileceğini ileri sürdü. Günümüze kadar bu konuda yapılmış olan çalışmalar, ne bu iddianın doğruluğunu ne de yanlışlığını ispatlamaya yetmemiştir. Günümüze kadar 44 adet mükemmel sayı(hepsi çift, hepsi 6 veya 8 ile bitiyor-ama sırayla değil) bulunmuştur. 44. mükemmel sayının 19 milyondan fazla basamağı vardır. Mükemmel sayıların tarihi kısaca böyle. 45.cı mükemmel ve ilk tek için sayınızı bekliyoruz. Bu arada söylemeden geçmeyelim; Batı’da mükemmel sayılara gösterilen tutkunun gerisinde ilk sayı olan 6′nın tanrının dünyayı 6 günde yaratmış olması inancı ve Ay ayının 2. sayı kadar, yani 28 gün olması da var.

  • İlk 4 mükemmel sayı için şu ilişkiler geçerlidir:




Tags: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

Matematikte Özel Sayılar için 3 yorum

  1. gerçekten anlayana sabredene dinleyene okumaya okutmaya deyer bir bilgi

  2. 4 sayfa yazdım elimle daha da yazıyorum burdan

    Teşekkürler…

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Şu HTML etiketlerini ve özelliklerini kullanabilirsiniz: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

sayaç